Вы шутите jq для ajax?
Я так понимаю
axios - для слабаков?
Зачем менять прототип? Вы только для себя делаете проект?
Уйдите от self, в vue все на this надо стараться делать.
А проблему посмотрите в отладчике, там можно увидеть что передается и какой метод передает.
А вообще не видно где вы модите search_row . Вы только его спрашиваете.