думаю, вам нужно просто обернуть команды гита в shell_exec(), но юзеру www-data должен быть доступен на запись ваш рабочий каталог https://stackoverflow.com/a/8562666/4737276
Спасибо за ответ. Насколько мне известно, для подключения к удалённому серверу по ssh необходимо использовать функцию ssh2_connect. Каким образом можно пушить через shell_exec в удаленный репозиторий по ssh?