Есть ли способ, проверить локальный сайт на наличие ошибок
Если есть время, тут поможет PHPUnit (тестирование)
Версий linux довольно много любая ли версия подойдет
На сервере, чаще всего centos или debian.
Если в Linux Mint сайт будет работать отлично или медленно
Нет, это не значит что на хостинге будет так же. Зависит от того в чем проблема и есть ли она.
есть ли некое решение по выявлению всех ошибок и проблем со скоростью сайта
Проблемы со скоростью, чаще всего из за медленных запросов к базе или из за "кривого кода".
Для отслеживания медленных запросов у MySQL есть втроенная функ-ция логирования медленных запросов. Если с запросами все ок, то дебажить, проверять код (часто бывает проблема в неправильных циклах) в большом количестве занятой памяти и т.п.
Намного реже, проблема бывает с хостингом, но бывает.