Очередь задач на PHP можно реализовать разными средствами. Например, сервер и клиенты
Gearman («пушка по воробьям» для вашей задачи) или
Queues в фреймворке Laravel.
По кнопке «Запустить» просто сохраняется введённая ссылка. А в фоне постоянно работает процесс (или несколько), ожидающий задачи и обрабатывающий их. Этот «рабочий» процесс, запущенный из командной строки, может выполняться сколь угодно долго. Выполнив одно задание он тут же переходит в режим ожидания следующего. Уже есть следующее – сразу начинает выполняться. И так далее.
Если 100 посетителей почти одновременно создадут свои задачи, те выстроятся в очередь и будут обрабатываться последовательно.