1. Можно ли заставить mysql выводить все даты в UNIX_TIMESTAMP по умолчанию?
нет. Datetime и TIMESTAMP это два разных типа данных, поэтому в любом случае придется преобразовывать данные
2. Сильно ли конструкция UNIX_TIMESTAMP(`date`) притормаживает запросы к БД? Может она и вовсе никак не влияет на скорость обработки? то тогда в первой части вопроса нет смысла.
все зависит от объема выбираемых данных, если Вы выбираете 20 записей вряд ли Вы ощутите значимые тормоза, если будете выбирать милионы - тогда конечно функция добавит времени выполнения (не факт что много, т.к. это от многих вещей зависит но добавит)
Если Вы работаете с таймштампом лучше изначально хранить данные в нем в БД