position контейнера слайдов делаем absolute или relative
overflow контейнера делаем hidden, чтобы слайд не вылезал за пределы
position слайда делаем absolute
Теперь slide.style.left и slide.style.top координаты в контейнере и дальше позиционируем его куда хотим, в случае слайда двигаем в нужную сторону пока не выйдет за границы области.
Для анимации используем setInetrval или requestAnimationFrame
На сайт подключён jQ. Конечно, можно делать интервалами, но пролистывание на смартфонах и планшетах вы не поймаете. Да и любая последующая переделка слайдера займёт достаточно много времени. Не стесняйтесь, ставьте slick .