Хватит ли оставшейся оперативки если установлю apache + php + mysql?
Для того, что бы оно запустилось - думаю хватит.
Нагрузка на сервер предполагается мизерной — бот на php для telegram.
Зачем Вам Apache или вообще веб-сервер? Запускайте скрипт из консоли. Можете попробовать
встроенный в ПХП веб-сервер.
При жесткой необходимости можно отказаться от mysql и хранить данные в файлах.
При жесткой необходимости, и в её отсутствие тоже, можно отказаться от MySQL и хранить данные в
SQlite3.
P.S.
панель показывает: 120.2 MB of 256 MB Used / 135.8 MB Free
Единственное, что меня смущает - как и зачем Вы умудрились панель вкрутить на сервер с 256Мб оперативки :)) Но... это в принципе к делу не относится, просто мысли вслух.