Поскольку у Вас происходит POST запрос, происходит и полная перезагрузка страницы, после перезагрузки безусловно неизвестно какой OPTION был выбран.
Чтобы сделать то, что Вы хотите, Вам придется в Вашем PHP коде сформировать option выбранный ранее с атрибутом selected
htmlbook.ru/html/option/selectedwhile($weblist = mysqli_fetch_array ($list)) {
$selected = $weblist['name'] == $_POST['wslist'] ? 'selected' : '';
echo "<option $selected value = \"{$weblist['name']}\">{$weblist['name']}</option>";
}