Здравствуйте.
Можете использовать программку XSplit. Для ваших целей хватит бесплатной версии.
https://www.xsplit.com/
Единственное, что она достаточно требовательна к железу.
С XSplit'a публикуете свой смикшированный поток к себе на медиасервер, или на ютуб или на какой-нибудь CDN.
Вот тут я писал инструкцию как им пользоваться:
cdnvideo.ru/blog/244