Судя по вопросу вы не до конца поняли концепцию докера. Контейнер после запуска это не изменяемая сущность, все изменяемые данные должны хранится вне контейнера: если это файлы - используйте volumes, если какие-то данные - закидывайте их во внешние бд, если логи - транслируйте их во внешнее хранилище/систему сбора через тот же syslog.
Послушайте вот этот доклад
https://youtu.be/X2jlKUHbepY