Уточните ваш вопрос.
Если у вас есть подобный чатик, который нужно сделать выезжающим, то это проставив связка (CSS Transitions + 5-строчный скрипт отлавливающий клик по кнопке "чат").
Другое дело, если вам нужно непосредственно этот сайт написать и заставить работать. Что именно вам нужно?