Собственно нужно добавить Spinner в Actionbar, при этом чтобы он находился слева, а меню справа. Нужен простой, действительно работающий пример, без каких либо иконок, кастомных адаптеров и прочего, если в это нет необходимости.
Думаю, тут работать нужно не с экешн-баром, а с toolbar'ом. Использование тулбара как экешн-бар позволяет сделать быструю миграцию со старых версий, да и многим просто облегчает работу с ним. Но сам по себе тулбар функциональнее чем интерфейс экшн-бара, поэтому для чего-то кастомного следует работать с ним напрямую.
