Как обосновать свойство степени квадратной матрицы?

Question

[Paul]

Здравствуйте. Верно, что для каждой квадратной матрицы A и натуральных чисел k и l справедливо: A^k * A^l = A^l * A^k. Интуитивно я с этим согласен, но доказать не могу. Из определения операция возведения матрицы в степень данный факт вывести не получается. Подскажите, пожалуйста, как это обосновать или источник, где это подробно объясняется.
Спасибо.

Answer 1

[Алексей]

А чего тут доказывать?
A^k = A*A*A*A... k раз
A^l = A*A*A*A.... l раз
A^k * A^l = A*A*A.... k+l раз
A^l * A^k = A*A*A.... l+k раз
k+l = l+k

Comments

[Paul]

Да, всё действительно просто. Забыл про то, что свойство ассоциативности умножения справедливо и в случае с матрицами.

[Алексей]

Павел: Тут даже этого свойства не надо, достаточно определения что такое степень. Обе части исходя из определения степени записываются как A*A*A... = A*A*A... и количество таких A одинаково.