Хостинг поставил на сервер мне самоподписанный сертификат. Но браузер выдает, что он не является доверенным. Собственно можно как-нибудь этот сертефикат скачать и записать его в хранилище?
Можно, зависит от браузера, где именно он хранит сертификаты (хром в системном хранилище, файрфокс в своём собственном). Само собой, у других юзеров к сертификату доверия не будет.
Можно и записать, но сертификат будет валидный только у Вас.
Советую купить коммерческий сертификат, либо выпустить хотя-бы бесплатный, от Let's Encrypt.
Официальный сайт: https://letsencrypt.org/
Как получить SSL сертификат: https://habrahabr.ru/post/270273/
