Мне своего времени очень помогло включение show mysql slow query. Сначала ставите "запросы дольше 3 секунд", затем "2 секунды" и т.д. вплоть до полсекунды.
Заметите, где не стоят нужные индексы и т.д.
Затем, даже если индексы не помогут - ставим memcache и кешируем остальное, чтобы тяжелые запросы использовались как можно меньше.
Если все равно тормоза - memcache на части страниц и виджеты.
Затем посмотреть, работает ли Yii1 под PHP 7 (не помню этот момент) и если возможно - перевести скрипт на nGinx+PHP-FPM.
Потом, если есть возможность - смотрим на базу данных и делаем partition по дате, если с этим есть проблемы.