Сам по себе Google Chrome умеет загружать папки, для этого можно использовать
вот такую штуку с элементом input. Но поддержка браузерами у этого не очень хорошая, поэтому в Google Drive скорее всего используется что-то другое - например упомянутый вами File API (вполне вероятно, что для разных браузеров они выдают разные реализации).
Если же вы о том откуда у Chrome вообще есть права на чтение, то ответ прост, и, скорее всего, был пролистан где-то в середине пользовательского соглашения. К слову, если в адресной строке в Chrome ввести
file:/// то получается "недофайловый менеджер" - читает файлы начиная с самого корня (в линуксе)