1. Если родные юзеры не подходят, им можно сделать
class My_User extends WP_User
2. Чуть некорректная регистрация экшна в ООП-формате, надо
$loader->add_action( 'wp_ajax_nopriv_register_ajax_handler', array( $this, 'register_ajax_handler') );
3. Проверьте html код страницы, там где-то инлайном должен быть скрипт с определением переменной ajaxurl
4. А еще, есть wp_ajax_nopriv_* и wp_ajax_*
Собственно, думаю что №2 решит проблему.