По большому счету, у вас два варианта:
- Использовать mailto-ссылки с get-параметрами, чтобы при отправке формы открывался почтовый клиент пользователя.
- Использовать API стороннего сервиса, который предоставляет возможность отправлять письма.
Первый вариант не очень надежный и требует от пользователя дважды отправлять сообщение - сначала в форме, а потом в почтовом клиенте.
Второй вариант несколько сложнее в реализации, и в общем-то не совсем подходит под определение "не прибегая к серверной части", но я бы рекомендовал именно его.
Подробнее:
про mailto,
про API.
