Как правило для всех классов, реализующих работу со строками (CString, std::string, QString), уже доступны перегруженные операторы сравнения <, >, == и т.д. Так же могут существовать методы сравнения с условиями, вроде CompareNoCase.
Если вы реализуете алгоритм быстрой сортировки и хотите реализовать собственные методы сравнения строк, то самым простым вариантом будет пронаследоваться от класса строк и переопределять методы сравнения.
Если вы работаете с char* то посмотрите реализацию memmcmp и strcmp
www.cplusplus.com/reference/cstring/memcmp
www.cplusplus.com/reference/cstring/strcmp
P.S. совет, не изобретайте велосипед, т.к. алгоритмы сортировки оттачивались математиками и программистами много лет. Выигрыш по быстродействию вы сможете ощутить только, если у вас очень специфичные наборы строк.
Например у всех строк первые три символа одинаковы, тогда кастомная сортировка с 4-го символа может дать выигрыш по времени.