1. В зависимости от состояния можно отображать лого в виде ссылки с картинкой или простого span с картиной. В selenium для проверки состояния искать вложенную картинку вложенную в тег span или в тег a.
Так же текущее состояния SPA у вас скорее всего отображается в ссылке, через какой-нибудь хеш. Соответственно, можно проверять изменился ли урл при клике.
2. Селениум умеет проверять есть ли элемент на странице и видимый ли он. Гуглите реализацию для вашего конкретного api к webdriver. Элементы выбираются по css или xpath - тут уж как удобнее.