После потери фокуса инпутом вот этот код по таймауту скрывает ваш datepicker:
$('#dateDepartureInput, #dateArrivalInput').on('focus', function () {
$(this).siblings('.js-datepicker-wrap').removeClass('hidden');
}).on('focusout', function () {
var $this = $(this);
setTimeout(function () {
$this.siblings('.js-datepicker-wrap').addClass('hidden');
}, 500);
});
P.S. класс hidden очень плохая практика, у ui.datepicker есть свой метод ".datepicker('hide')".
Все это надо заменить на:
$('#dateDepartureInput, #dateArrivalInput').datepicker({
showOn: "focus"
});