После той записи напишите:
<FilesMatch "avatar.jpg">
Header set Cache-Control "max-age=0"
</FilesMatch>
А зачем вам это нужно?
Если, чтоб аватар сразу после установки менялся, то просто каждый раз ему ставьте рандомное имя, а в БД записывайте это имя, потом доставайте скриптом и вставляйте внутри своего HTML. Если лень настраивать подключение к MySQL, можете использовать YNDb, только не храните в YNDb важную информацию ни в коем случае - стабильной версии нет.