> Может ли php получать и сразу же обрабатывать часть запроса, не дожидаясь окончания получения запроса?
Да, можно.
Почитайте как открывать и использовать "сырые" сокеты:
php.net/manual/en/function.fsockopen.php
> Если сервер с серым IP отправит запрос серверу с белым IP, то может ли сервер с белым IP отправлять ответ бесконечно долго, таким образом создав постоянное подключение для туннелирования?
Можно, если это не заблокировано на белом сокете.
Заблокировано может быть:
1. максимальное время таймааута выполнения скрипта.
2. максимальное время обработки страницы настраивается в апаче)
и тп.
> Может ли php получать и сразу же обрабатывать часть запроса, не дожидаясь окончания получения запроса, так как один ответ сервера длится бесконечно и его, естественно надо обрабатывать частями?
Может, смотрите сокеты.
PS: првада то что вы делаете - странно и нелогично.