Думаю, что можно как-то так:
1. По кнопке на страничке создавай файл /var/www/html/needRestart.
2. В crontab добавляй примерно такую строку:
* * * * * if [ -f /var/www/html/needRestart ]; then rm -f /var/www/html/needRestart; /sbin/shutdown -r now; fi