function handleMouseOver(elem) {
elem.style.border="thick solid"; //(все хорошо)//
elem.style.border-bottom="none"; //ничего не происходит???//
}
<p onmouseover="handleMouseOver(this)" />
elem.style.border-bottom="none"
обратите внимание на дефис, он будет интерпретировать как минус, т.е. дефисов в js коде быть не должно. Ищите другой способ обратиться к border-bottom и тд.