https://getcomposer.org/doc/ - тут есть все. Вообще все что нужно. Если здобрить гугл транслейтом всеравно довольно понятно все.
Когда его нужно ставить локально, когда глобально
как хотите или как вам удобнее. Можете всегда локально ставить, можете всегда глобально. Я ставлю глобально только на своей машине и на билд сервере... Хотя при моей схеме ставить composer локально и не нужно, так как он нужен только на локальной машине и на билд сервере... Если же вам при деплое на сервере нужен composer то имеет смысл просто закоммитить composer.phar или поставить его рядом с проектом на целевом сервере.
как закачать расширение
смотря что вы подразумеваете под "закачать". Установить , composer require, залить на packagist - читаем мануал на packagist или ставим напрямую из github/bitbucket.
как обновить проект, как начинать новый проект
composer update и composer init/create-project соответственно.
https://getcomposer.org/doc/03-cli.md - судя по всему вам сначала сюда.