Логично предположить, что решали бы задачу установления связи между ТИД и внутреним ИД пользователя сайта.
Сразу приходит в голову, что потребуется телеграм бот.
Ситуция 1. Пользователь зареген на сайте, хотим знать его ТИД.
Генерируем для него ссылку на бота с секретной частью для команды старт.
При приходе в бот уведомления с этим кодом смотрим для кого было это секретное слово - этому пользователю присваиваем тид из сообщения
Все - сайт теперь может ему отсылать уведомления о статусе заказов.
Ситуация 2. Авторизовать через бота.
Просим его номер телефона. (опционально)
Заводим у себя пользователя (тид,номер,никнейм)
стартуем сессию для пользователя
в бота отдаем ссылку, по которой сессия подхватиться в броузере
вариант 3.
куар на странице авторизации ведущий на телеграм бота (см подвариант 1)
но делаем немного другое, если пользователь по ней прошел, то дополнительно снимаем с холда еще страницу на десктопе
Если парсер личный, то можно попробовать вручную сделать авторизацию в браузере, а потом взять cookie и перенести их в парсер, но в парсере надо будет User-agent ставить такой-же как в браузере на всякий случай.
Средний
