Первое - вам нужно получить ссылку на объект, который хотите двигать. Самый простой способ - кинуть рейкаст из камеры, получить объект и проверить его по тегу. Можно запариться с автоматическим поиском.. типа игра будет автоматически выделять ближайший объект и просто нажимая на кнопку вы взаимодействуете именно с ним.
Тут нет правильного или не правильного способа, это разный геймплей, просто сделайте так как в вашей игре будет по вашему мнению лучше.
Дальше вещь нужно перетащить. Учитывая платформу и условия, скорее всего это будет происходить путём вращения и движения самого персонажа, а объект будет просто привязан к игроку с сохранением относительного положения и поворота.. а это словно намекает на то, чтобы взять и на период переноски назначить transform.parent свойству объекта transform игрока, который вы вращаете.