Оно вообще не должно обрезаться. Замените на contain.
Но если прямо по сути вопроса, то хорошо бы изучить простейшее свойство background. Вообще в любом справочнике и посмотреть из каких частей оно состоит.
В данном случае нужно background-position
Ankhena, в этом и помогло св-во background-position: right). Теперь обрезается "тьма" слева, а не логотип с текстом. А когда доходит до обрезания логотипа есть мобильная версия картинки.
Ankhena, И все же решение с contain было верным. Но теперь вырисовывается другая проблема, при указанной высоте хедера изображение уменьшается и остается белое пространство. Это как-то решается?