Ответ тут очень простой - никак.
Мало того, что вешать все запросы на одно соединение просто глупо, когда БД может обрабатывать их тыщи. И та же нода, если делается по-уму, то использует пул соединений, а не одно.
Но, главное, РНР так не работает.
И проблема здесь не в количестве соединений, а в том, кто писал код.
Если в коде используется только одно соединение за все время работы скрипта (а не открывает новое соединение на каждый запрос, как у всех гениальных скриптописателей), и база данных устроена по уму (не тормозит), то хватит даже самого дохлого хостинга с лимитом в 5 одновременных подключений. Просто потому что любой запрос к рест апи должен работать не дольше 0.01 секунды. И любые проблемы будут появляться только при частоте обращений больше 100 в секунду.
Соответственно, вместо фантазий про "одно соединение" надо переделывать кривой код и базу данных.