Всё, что связано с датами в JS – в объекте 
Date.
Из него можно вытащить и время и месяц и всё остальное.
Месяцы в этом объекте обозначаются числом от 
0 (январь) до 
11 (декабрь).
Понадобится создать объект Date, отображающий «сейчас: 
new Date() 
И вытащить из него значение месяца 
getMonth()
Чтобы перевести полученное число 
0..11 в слово, как вариант, можно составить массив имён месяцев:
const monthNames = ['январь', 'февраль', ... 'декабрь'];
Удобно: под индексом 
0 тут как раз "январь", под 
11 "декабрь".