Выполняем cd / & du -h -d 1
и выясняем, что в корне сожрало столько места
Допустим, это /var
Переносим ее содержимое на новый раздел
Удаляем это содержимое на старом
Прописываем в /etc/fstab монтирование нового раздела как /var
Последние два действия лучше делать не на запущенной системе, а с LiveCD или в recovery mode