Когда ты делаешь await, ты говоришь "останови работу данной корутины, дождись, пока не закончится операция после await, потом продолжи работу". Пока одна корутина остановлена, другие могут выполняться. В общем, почитай про то, как работает асинхронная программа.
Если тебе нужно запустить корутину, не дожидаясь её завершения,
asyncio.create_task() в помощь.
Стоит понимать, что код, который ты запускаешь через asyncio.create_task(), должен тоже быть асинхронный! Если ты завернёшь обычный синхронный вызов в корутину, и запустишь её через create_task(), чуда не будет - бот всё равно встанет колом, пока вызов не закончится.
Так что взгляни лучше на свой парсер - если он основан на синхронной библиотеке типа requests, перепиши его на aiohttp.