Ну вообще это задание, а не вопрос, в такой формулировке.
Сумму можно посчитать так:
public static int Sum(int[] numbers, int start, int count) {
if(count < 0 || count > numbers.Length)
throw new ArgumentOutOfRangeException(nameof(count));
if(start < 0 || start >= numbers.Length || start + count > numbers.Length)
throw new ArgumentOutOfRangeException(nameof(start));
return count == 0
? 0
: numbers[start] + Sum(numbers, start+1, count-1); // Вот тут наша рекурсия
}
На счёт арифметической последовательности - зависит от того, как она выражена.