На одном форуме подсказали что дело в разрядности приложения.
Интересно, причём тут разрядность вообще.
Когда указываю относительный путь выходит исключение.
Относительный путь решит проблему, только если хром будет установлен в ту же папку, что и твоё приложение. Сейчас же он часто ставится в локальную папку пользователя.
Вариантов несколько:
1. Проси у пользователя явно указать путь к хрому
2. Запускай дефолтный браузер. Для этого надо ввести просто
Process.Start("https://www.google.com");
Но это вроде будет работать только на винде
3. Тащи бинарники хрома вместо со своим приложением.
4. Перебирай все возможные пути к хрому: и Program Files, и Program Files (x86), и AppData