Можно ли подключиться один раз к базе mysql и дальше делать с этой базой любые запросы?
Можно.
Если "документы .php" - это файлы используемые одним процессом php, то только так и надо. Если нужно чтобы разные процессы использовали одно подключение к БД, то это вопрос не к php, а к тому кто будет поддерживать это соединение и шарить на процессы php. Есть persistent connection на стороне СУБД, но его лучше не использовать, т.к. не всегда оно корректно работает. Есть всякие ProxySQL которые могут это организовать, это и есть оптимальный вариант.