Насчет своего браузера - вряд ли, только поддерживаемые селеном. В частности, у хрома можно использовать свою папку пользователя, (Chrome_data), в которую сохраняются все данные:
chrome_options.add_argument('user-data-dir=' + os.getcwd() + '\\Chrome_data\\')
Но перед сохранением чего-либо нужно запустить селен с аргументом выше и создать новый профиль (пользователя) браузера. После создания все данные будут храниться в папке.