Как вынести подключение к БД?

Не совсем понял, о чём Вы. Т.е. где-то устанавливаем подключение к БД, а затем уже созданное подключение передавать в конструктор класса?

verdex: именно или как выше посоветовали использовать Singleton

Руслан: лучше будет, если сам класс в конструкторе будет делать коннект и возвращать свой инстанс, а методы там будут делать что-то с базой. Можно вообще сделать свой Singleton, который extends PDO

Falseclock: То есть получается вот так:
Конструктор класса:

//constructor
    public function __construct($login, $id = 0, $mainname = 0, $charset = 0, $email = 0, $index = 0)
    {
        $this->id = $id;
        $this->userid = $login;
        $this->mainname = $mainname;
        $this->charset = $charset;
        $this->email = $email;
        $this->index = $index;
        //connect to database
        $dbhost = "127.0.0.1";
        $dbuser = "***";
        $dbpass = "****";
        $dbname = "****";
        $connect = new PDO("mysql:host=$dbhost;dbname=$dbname", $dbuser, $dbpass , [PDO::ATTR_ERRMODE => PDO::ERRMODE_EXCEPTION]);
    }

Метод класса:

public function getsiteinfo($login, $id)
    {
      
        $getquery = $connect->prepare("SELECT * FROM `***` WHERE `userid` = :login AND `unid` = :unid");
        $getquery->execute(array(":login" => $login,  ":unid" => $id));
        $info = $getquery->fetch_assoc();
        return $info;
    }

verdex: в правильном направлении мыслите. НО!!! Большое НО! Ваш основной класс должен быть отделен от логики. Как мухи от котлет. В принципе то что вы делаете - нормально. Рано или поздно вы придете к абстрактным классам и интерфейсам.

Тем не менее. Конструктор должен что-то возвращать, чтобы вы могли позже обращаться к публичным методам класса.

Публичные методы как правило возвращают самих себя. То есть ваш метод getsiteinfo по идее должен записать результат в переменную класса, а уже другими методами вы обрабатываете сам результат запроса.

Но. еще раз скажу. Вы в правильном направлении. Это не говорит, что вы делаете что-то не так. Все верно. Если я вам сейчас скажу как принято - у вас будет каша в голове. А пока делайте так как делаете. Все идет своим чередом.

Единственное, что меня напрягает - PHPStorm подчёркивает переменную $connect и говорит, что она не определена.

Проблему уже решил в другом вопросе.