Можно - перенести базу данных сайта и настроить копию старого сайта на работу с базой данных нового сайта.
В данном случае изменения будут писаться в одну БД и со старой и с новой копии сайта.
Либо как вариант - использовать третий сервер, который будет светиться в DNS и проксировать весь веб трафик сначала на старый сервер, а затем на новый. После переезда-можно будет изменить DNS запись, чтобы она смотрела на новый сервер и через некоторое время от этого промежуточного избавиться.
