Решил проблему совместно с Артем Золин
1) Найдена ошибка в файле-обработчике:

$number = iseet($_POST['_number']) ? $_POST['_number'] : '';

, вместо iseet - isset.
2) В HTML-форме,

<input type="text" name="post" id="post" placeholder="Должность" value="<?php echo get_the_author_meta( '_post' ,$user_id);?>">

. Обратите внимание на имя и идентификатор - они должны быть как имя кастомного мета-поля, то есть вот так:

<input type="text" name="_post" id="_post" placeholder="Должность" value="<?php echo get_the_author_meta( '_post' ,$user_id);?>">

И так во всех кастомных полях.
3) с JS все в порядке, там ничего исправлять не нужно.
4) чтобы обновить мета-поле Carbon Field, можно прописать вот так: update_user_meta($user_id, '_post', $post );. И так со всеми кастомными полями.
Надеюсь в дальнейшем вам очень поможет :)