zorruch

Думаю что сам крон работает.
Но фейлится само задание, которое стоит в кроне, крон пытается выслать письмо, но судя по ошибке sendmail письмо это никуда не отправляется.
Лучше копать в сторону починки почты или попытаться запустить крон задание вручную.

Посмотрите в сторону ZFS (аналог BTRFS но с плюшками в виде отправки снапшотов по сети и стабильнее).
У меня так бекапятся все виртуалки (root раздел не бекапил таким образом, нов теории это возможно)

Попробуйте exim =) Он тоже умеет принимать почту.
Но вообще установка почтаря - не должна ломать всю систему,если там не стоит другой почтовый сервер.

Если хотите просто почту - привяжите домен к почте яндекса или гугла - у них есть подобные сервисы.

Возможно поможет:
ubuntuforums.org/showthread.php?t=1983220

sudo apt-key adv --keyserver keyserver.ubuntu.com --recv-keys 176A5C84ED67C9ED

Отвечу на часть вопросов:
1) Если для установки потребуется удаление другого пакета - apt вас об этом спросит (если в пакете явно указано наличие конфликта с другим пакетом)
2) Искать пакеты по репозиторию можно через apt-cache search <имя пакета>
Если команда apt-get upgrade выполняется с ошибкой - значит у вас есть неудовлетворенные зависимости в пакетах.

То, что вам скинул хостер - скорее всего выборка из лога nginx или другого веб-севера на удаленном (не вашем) хосте.
Ваш сервер долбится к ним на хост по http на uri administrator/index.php и получает отказ в авторизации (http ответ 401).
Т.е. вероятнее всего у вас работает некий скрипт (или запускается по крону) который и инициализирует подобные соединения.
Надо понять являются ли такие соединения валидными для вас, или ваш сервер был взломан и используется злоумышленниками для злонамеренных целей =))

В помощь придут команды:
Покажет текущие tcp/udp соединения от сервера/к серверу, а так-же их PID,если запускать ее от рута
netstat -tupn
еще можно поиграться с командой -
tcpdump port 80 -nn
но в ее выводе надо исключить выборку запросов на собственных хост - как это сделать думаю сами разберетесь.

Ну дополнительно еще рекомендую проанализировать все cron файлы ( как пользовательские, так и системные) на подозрительный код и просмотреть список активных процессов на наличие подозрительных скриптов.