Аргументировать надо тем, что стоимость поддержки возрастает кратно, вероятность накосячить тоже, причем не по вашей вине.
Грубо говоря на вот эту фичу я потратил Х, а если была бы нормальная система, потратил бы Х/5, и хотя Х величина не такая уж большая, за Y времени набегает сумма сравнимая с переписыванием. Но отдаем мы только проценты по техническому долгу, а тело все увеличивается и увеличивается, и за Y*2 мы потеряем вот столько.
Заготовьте самые яркие примеры, отправьте ссылки на статьи про Рефакторинг и Технический долг на википедии, они написаны для неспециалистов. Не бойтесь слегка загрузить их терминами, и аналогии нужно применять осторожно, лучше если они будут в профессиональной сфере.
Первые четыре абзаца вопроса тоже хорошие, можно их использовать.