Антон

const select = (query) => new Promise((resolve, reject) => {
  const request = new Request(query);
  request.once('error', reject);
  request.once('done', (rowCount, more, rows) => {
    resolve(rows.map(
      columns => columns.map(
        column => column.value
      )
    ));
  });
  connection.execSql(request);
});

// Сделайте отдельный метод onClick
onClick = (task, value) => () => {
  closeMenuPerTeam({
            ID: task.ID,
            ROUTE_USER: value,
        })
}

{mainInformation.userTeam[0].map((value) => (
        <MenuItem onClick={ this.onClick(task, value) }>
    {value}
    </MenuItem>))}
   </Menu>

Таким образом вы:
1 - однозначно прокидываете task в хэндлер в момент отрисовки компонента, а не в момент вызова onClick, как было до этого (в чём и заключалась проблема)
2 - Избавляетесь от анонимной функции в onClick, погуглите почему не стоит так делать