tornado.gen.coroutine + yield != асинхронность. Вызовы, которые делаются должны уметь работать асинхронно. Смотрим здесь первый пример:

class AsyncHandler(RequestHandler):
    @asynchronous
    def get(self):
        http_client = AsyncHTTPClient()
        http_client.fetch("http://example.com",
                          callback=self.on_fetch)

    def on_fetch(self, response):
        do_something_with_response(response)
        self.render("template.html")

Метод fetch объекта класса AsyncHTTPClient -- асинхронный. На это указывает аргумент callback (и название класса, конечно :)). Когда страница будет получена, вызовется _on_fetch. Как и в AJAX.
Пример ниже на этой же странице -- это переписанная версия того же самого, просто красивее, без лапши коллбеков. Для этого и нужна пара tornado.gen.coroutine + yield.

Вызов time.sleep(2) блокирует весь ioloop, вместо него можно воспользоваться чем-то типа

yield tornado.gen.Task(tornado.ioloop.IOLoop.current().add_timeout, time.time() + 2)

Но даже заменив эту строку, асинхронности не будет заметна. Это связано с ограничениями браузеров: они не умеют одновременно открывать одну и туже вкладку. Поэтому нужно открыть вкладки в разных браузерах.

Еще одно: декоратор @tornado.web.asynchronous не нужен при использовании @tornado.gen.coroutine.

Вот эту страничку нужно обязательно прочитать.