for (int i = 1; i <=5; i++)
Поехали,
1 ход цикла: sum = sum(0) + 1 // получаем, что sum теперь равен 1
2 ход: sum = sum(1) + 2 // теперь sum = 3
3 ход: sum = sum(3) + 3 // sum = 6
4 ход: sum = sum(6) + 4 // sum = 10
5 ход: sum = sum(10) + 5 // получаем sum = 15
Факториал считай по той же схеме)