Не поняла почему при объявлении массива ты указываешь его размер как [size-1][size-1], тебе нужен массив 6x6 или 7x7? В моем примере будет 7x7. В качестве переменных String не нужен, тебе же всего один символ нужен, поэтому лучше использовать сhar
Заполняем:

char[][] array = new char[size][size];
        char tic = 'x';
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            for (int j = 0; j < array.length; j++) {
                if (j == i || j == array.length - 1 - i)
                    array[i][j] = tic;
            }
        }

Выводим на экран в виде матрицы:

for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            for (int j = 0; j < array[i].length; j++) {
                System.out.print(array[i][j] + " ");
            }
            System.out.println();
        }

for (int i = 1; i <=5; i++)
Поехали,
1 ход цикла: sum = sum(0) + 1 // получаем, что sum теперь равен 1
2 ход: sum = sum(1) + 2 // теперь sum = 3
3 ход: sum = sum(3) + 3 // sum = 6
4 ход: sum = sum(6) + 4 // sum = 10
5 ход: sum = sum(10) + 5 // получаем sum = 15

Факториал считай по той же схеме)