Максим Тимофеев

composer dump-autoload

Вы видимо запускаете команду не там где надо. У Вас есть папка в которой есть laravel, там и лежит composer.json. Судя по ошибке - Вы запускаете composer в корне openServer-а, а так не должно быть composer.json, и видимо нет и об этом ошибка.
Запускайте команды в папке с проектом, а не в C:\openserver. Для этого в консоле запустите
cd domain
cd somemyprojectfolder
и только после этого уже запускайте update и т.д.
Проверить работоспособность композера можно откуда угодно, например командой
composer self-update

composer есть в OpenServer из коробки. Зачем Вы его устанавливали?

Installation failed, reverting ./composer.json to its original content.

Это не ошибка, ошибка раньше написана, ее текст дайте. Данная строчка говорит, что композер вернул все наместо, так как была ошибка, но какая именно не понятно. Где-то выше она описано, дайте больше данных.
Из частых проблем с композером могу назвать отсутствие обязательного плагина к нему:
composer-asset-plugin
устанавливается так:

composer global require "fxp/composer-asset-plugin:~1.3"

убедитесь что правильно устанавливаете, возможно гайд кривой, вот оф мануал:
https://getcomposer.org/download/
https://getcomposer.org/doc/00-intro.md#globally
по поводу

No such file or directory

- вполне однозначная ошибка

curl -sS

по-моему так: curl -s

по поводу:

curl: (23) Failed writing body (0 != 16133)

- в поиске миллион решений и кроме Вас никто не знает какое Вам поможет:
https://yandex.ru/search/?text=curl%20Failed%20wri...

никакой кучи не будет если
-mysite
-- public_html // тут содержимое web
-- yii //тут остальное

с композером все так же как и обычно только запускать composer update из папки yii

но ошибка компосера врядли из-за структуры проекта,

Bootstrap 3 устанавливается автоматически при установке Yii2 Advanced

Вот только все что устанавливается через composer попадает в папку vendor
Далее через assets менеджер он попадает в публичную папку assets

Если по какой-то странной причине Вам надо его перенести - сделайте это ручками. Отключив его в конфиге и подключив вручную.

Я бы оставил его там где он есть, тогда он будет обновляться. И все будет работать.

сделайте create-project --prefer-dist yiisoft/yii2-app-basic myProject/yii
зачем мешать все в кучу. пусть в отдельной подпапке лежит
Ну или потом перенесите ручками на уровень выше, но это странно. Зачем?