Сначала переформулируем задачу - надо найти минимальное количество клеток с пауками в конце. Каждая клетка доски должна быть "покрыта": или быть с пауками, или быть соседней с клеткой с пауками.
У задачи много решений.
Во-первых, можно порисовать частные случаи с маленькими досками и найти формулу.
Для мелких значений там частные случаи, а для больших можно получить формулу.
Что-то вроде такого расположения работает на больших досках:
*...*...*
..*...*..
Во-вторых, можно решать через графы. Пусть каждая клетка - вершина графа. Ребра между соседними клетками. Заметим, что граф - двудольный (шахматная раскраска доски - это и есть 2 доли). Исходная задача поиска минимального количества клеток с пауками, это фактически задача поиска контролирующего множества вершин: каждая клетка должна или быть во множестве, или быть соседней с клеткой из множества. В двудольном графе эта задача равнасильна поиску максимального паросочетания. Это решение за O(n^2m^2).
Если хотите ДП, то перед переходами надо определиться с состояниями. Ясно, что будет какое-то ДП по профилю. Будем целиком покрывать сколько-то первых строк, а состояние последней строки хранить в маске. Поскольку каждая клетка может быть покрыта как снизу, так и сверху, то в состоянии надо держать состояние 2 последних строк.
Например, состоянием может быть f(k,m1,m2) - расставили пауков в клетках их первых k строк. Считаем минимальное количество пауков. Первые k-1 целиком покрыты, строка k покрыта маской m1, а строка k+1 - маской m2. База f(0,0,0) = 0, f(0, m1, m2) = infinity. Ответ будет в min_m2 (f(n, 2**m-1, m2)).
Переход снизу вверх: перебираем, куда мы ставим пауков в строке k+1. При этом важно, что бы строка k оказалось целиком покрыта. Пресчитываем маску в строке k+1, а маска в строке k+2 - это будет куда мы поставили пауков:
F(k,m1,m2) --> F(k+1, m2 | m3 | (m3 << 1) | (m3 >> 1), m3), для всех m3, таких что m3 | m = 2**m-1
Это будет решение за O(n6^m).
