WapSter

1. В eclipse-item передавай props с её индексом, и передавай этот индекс в метод события, который должен висеть на button.
   
   
   
2. В eclipse-item можно создать slot для button и вставлять button непосредственна в родительский компонент
   

   <eclipse-item v-for="i in 5" :key="i" ><button @click="myMethod(i)">Что-то там</button></eclipse-item>

   
   
   

Как рендерить страницы в Vue.js?

вопрос звучит не корректно, так как vue и так рендерит страницы - это его основная задача. Использовать nuxt и не извращаться над не проработанными плагинами, если делаешь сложное приложение

rating пропиши в data и меняй значение в своей функции, а функцию запускай по событию клика

axios отправляет промис после того, как получил ответ отправляй новый запрос с нужным id гугли promise или async/await. Если не нужно сразу отправлять сохрани в data

https://cli.vuejs.org/ru/guide/deployment.html#git...

Сохраняй в localStorage время последнего запуска, сверяй с текущим если больше 24 часов с последнего раза прошло, то запускай функцию открытия окна.

Например так
<div class="element" @dblclick="sendPost"></div>

methods: {
      async sendPost() {
        const response = await fetch('url',{
          method: 'POST',
          headers: {
            'Content-Type': 'application/json'
          },
          body: JSON.stringify({'Тело запроса'})
        })
      }
}

Зачем ты используешь setInterval, если во вью есть watch или computed