Прежде всего давайте немного проясним термины.

В криптовалютах под кошельком понимают две вещи:
1. Набор приватных ключей.
2. Програмное обеспечение для управления приватными ключами. В основном рассматривают именно этот вариант. Далее под кошельком я буду иметь ввиду именно этот вариант.

Кошелек отвечает за генерацию новых приватных ключей, получения публичных ключей и адресов из них, получение истории транзакций, подсчет и отображения баланса, создание транзакций и их подписание. В теории, все эти операции можно делать хоть на листке бумаги, но это немного сложно.
Что кошелек не делает:
- Не хранит блокчейн. Этим занимаються узлы сети.
- Не участвует в майнинге, формировании новых блоков и т.д.

Криптовалюта не может существовать без кошелька. Это все равно что запустить банк без возможни открыть в нем счет. При создании любой криптовалюты сразу создается ПО для управления ключами. В Биткоине как и в большинстве других криптовалют модуль управления ключами поставляется с "полным" узлом. Тем не менее, можно создавать стороние кошельки для управления ключами этой криптовалюты: мобильные, веб и так далее.

Биржы в основном работают по такой схеме:
1. Поднимают "полный" узел сети чтобы иметь возможность самостоятельно проверять приходящие транзакции.
2. Поднимают модуль кошелька и создают свой набор приватных ключей, под каждого пользователя генерируються новые ключи чтобы отличать на какие аккаунты будут поступать деньги. Тем не менее, все ключи контролирует биржа.